Introducción a la trigonométria plana
Aquí no brotan las cosas de la manga del profesor ni aparecen por arte de magia solo son el resultado de la necesidad de saber que pasaría si hago esto o lo otro.
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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Definir las relaciones
trigonométricas
Como en todo triangulo
rectángulo tenemos que
cos α =
ady/hip => cos α = x/ → x= cos α en el triangulo (1,x,y)
sen α =
opt/hip => sen α = y/1 →
y= sen α en el triangulo (1,x,y)
tan α = opt/ady = y/x = a/1 → a = tan α en el triangulo
(1,a,b)
sec α = hip/ady = 1/x = b/1 → b = sec α en el triangulo
(1,a,b)
cot α = ady/opt = x/y = c/1 → c = cot α en el triangulo (1,c,d)
csc α = hip/opt = y/x = d/1 → d = csc α en el triangulo
(1,c,d)
Identidades trigonométricas
básicas
Directamente del dibujo (teorema de Pitágoras) se deduce que:
cos²α + sen²α = 1 (1)
1 +
tan²α = sec²α (2)
1 +
cot²α = csc²α (3)
csc²α + sec²α = (cot α + tan α)² (4)
Se puede ver la variación de las funciones
haciendo que el triangulo mayor se mueva sin despegar su hipotenusa (cot +
tan), del cuadrante circular (ejes x e y).
Podemos
notar que el punto (x=cosα, y=senα) se mantiene siempre sobre el contorno
semicircular.
Dado que el triangulo solo tiene
tres lados, con tres funciones debería ser suficiente pero como pueden notar
las ultimas tres se definen para simplificar la notación de los inversos en las
ecuaciones largas.
También
se utiliza la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo.
α + β + 90º = 180º (en grados). → α + β + π/2 = π (en radianes)
Seno y Coseno
cos²α + sen²α = 1
La variación en la pendiente
(derivada) de las curvas en sus gráficos es armónica
Derivada de sen α = cos α
Integral de sen α = - cos α
Derivada de cos α = - sen α
Integral de cos α = sen α
Las derivadas e integrales de las funciones seno y coseno se hallan
fácilmente solo mirando el giro en el círculo trigonométrico.
Ej.; d(- sen α) = - cos α,
solo viendo el giro de las manecillas del reloj de (- sen α)
y la integral de sen α = -
cos α, con el sentido inverso del giro de
sen α
Debemos recordar, que en el primer dibujo (pag 1) se demostró la
posición y veracidad de cada una de las funciones trigonométricas sobre el
círculo trigonométrico a partir de su definición; que corresponden a esta y las
dos figuras siguientes.
Se puede ver claramente en
sus comportamientos por que las llaman armónicas y cíclicas (periódicas).
Tangente y Secante
1 + tan²z = sec²z ==> sec²z – tan²z = 1
La variación en la pendiente
de las curvas, de sus gráficos es cuadrática.
Derivada de tan z
= sec²z la
hipotenusa al cuadrado
Integral de tan z = ln sec z = – ln cos z logaritmo de la hipotenusa
Derivada de (sec z) = tan z *sec z producto de hipotenusa por cateto
Integral de (sec z) = ln (tan z + sec z) logaritmo de la suma
Vemos como las derivadas e integrales de estas dos funciones están
dadas por los lados de este mismo triangulo
Siendo la derivada del cateto =
la hipotenusa al cuadrado
Siendo la derivada de la hipotenusa =
al producto de cateto por hipotenusa
Siendo la integral del cateto =
al logaritmo natural de la hipotenusa
Siendo la integral de la hipotenusa =
al logaritmo natural (cateto + hipotenusa)
Vemos que lo mismo No se cumple para el seno y coseno ya que estas
están confinadas dentro del círculo.
Cotangente y Cosecante
1 + cot²z = csc²z è csc²z – cot²z = 1
La variación en la pendiente
de las curvas de sus gráficos es cuadrática.
Derivada de cot z = - csc²z - la hipotenusa al
cuadrado
Integral de cot z = - ln csc z = ln sen z - logaritmo de la hipotenusa
Derivada de csc z = - cot z csc z - producto de cateto por hipotenusa
Integral de csc z = - ln (cot z + csc z) - logaritmo de la suma
Vemos como las derivadas e
integrales de estas dos funciones están dadas por los lados de este mismo
triangulo
Siendo la derivada del cateto =
– la hipotenusa al cuadrado
Siendo la derivada de la hipotenusa =
– el producto de cateto por hipotenusa
Siendo la integral del cateto =
– el logaritmo natural de la hipotenusa
Siendo la integral de la hipotenusa =
– el logaritmo natural (cateto + hipotenusa)
Se cumple lo mismo que para el caso anterior (tangente secante) con
signo menos.
Vemos que lo mismo No se cumple para el seno y coseno ya que estas
están confinadas dentro del círculo
Identidades trigonométricas
básicas (método analítica)
En este apartado deduciremos las mismas ecuación es anteriores pero
partiendo de un análisis analítico y no geométrico como ya se hizo.
x = cos α y
= sen α
por el teorema
de Pitágoras.
x² + y² = 1² (Ec de la
Circunferencia) è Reemplazamos
x ^ y en EcC.
cos²α + sen²α = 1 (1)
Dividiendo (1) por cos²α. tenemos (2).
Y para (3) dividimos por sen²α
cos²α /cos²α + sen²α/cos²α = 1/
cos²α è 1 + tan²α = sec²α (2)
cos²α/ sen²α + sen²α/ sen²α = 1/ sen²α è cot²α + 1 = csc²α (3)
Ahora si en (1) hacemos cos²α = 1/sec²α y sen²α
= 1/csc²α è
1/sec²α + 1/csc²α = 1 è csc²α + sec²α = sec²α csc²α (1a)
Ahora si sumamos la Ecs (2) y (3) termino a termino obtenemos
1 + tan²α + cot²α + 1 = sec²α + csc²α è tan²α + 2 + cot²α = sec²α + csc²α (2p)
Resolvemos el cuadrado perfecto
(tanα + cotα) ² = tan²α + 2tanα cotα + cot²α
= tan²α
+ 2 sen²α/cos²α cos²α/ sen²α + cot²α
= tan²α + 2 + cot²α (2q)
Reemplazando (4q) en (4p)
tendremos
(tanα + cotα) ² = sec²α + csc²α (4)
Ahora reemplazando (1a) en (4) tendremos
(tanα + cotα) ² = sec²α csc²α = tanα + cotα= secα cscα (5)
Expresando las Ecuaciones 2 y 3
en Senos y cosenos tenemos;
sec²α – tan²α = 1 è 1/ cos²α – sen²α/cos²α = 1
è cos²*²α = cos²α – sen²αcos²α (2a)
csc²α – cot²α = 1 è 1/ sen²α – cos²α/ sen²α = 1
è sen²*²α =
sen²α – sen²αcos²α (3a)
Para obtener la siguiente identidad sumamos las Ec. 2ª y
3ª lada a lado
sen²*²α + cos²*²α = (sen²α + cos²α) – 2sen²αcos²α así;
sen²*²α + cos²*²α = 1 – 2sen²αcos²α (6)
Signo de las funciones en
los cuatro cuadrantes
Anexo en la parte
superior la definición de ángulo en función del arco L y el radio R
α =
L/R radianes
Así el arco
total de una circunferencia será 2π/R y el ángulo de toda la circunferencia
será Ө = 2πR/R = 2π
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Vemos como en el
círculo aparecen las funciones seno y coseno con los signos correspondientes a
cada cuadrante
Teorema de ángulos
complementarios
En el mismo triangulo rectángulo, los ángulos son α + β +
90° = 180° así 90°= α + β
Así que β = 90° - α
y α = 90°- β.
Si hallamos las razones
trigonométricas para el ángulo β con los
mismos datos del triangulo tendríamos.
cosβ = y/1 = y. ya que senα =
y → cosβ = sen(90° – β) = senα
senβ = x/1 = x. ya que cosα =
x → senβ = cos(90° – β) = cosα
O lo que es lo mismo las funciones Seno y Coseno son complementarias en
el primer cuadrante, ósea el Coseno de un ángulo es igual al Seno de la
diferencia de ese ángulo con 90°.
tanβ = x/y = cosα/ senα → tanβ = cot(90° – β). = cotα
cscβ = 1/x = 1/cosα → cscβ = sec(90° – β) = secα
secβ = 1/y = 1/senα → secβ = csc(90° – β) = cscα
Funciones de ángulos complementarios (En general)
Como se aprecia en
le figura las funciones del ángulo complementario de α (que es “π/2 –α”), están relacionadas con las
funciones del ángulo simple α.
Mirando las dos
horizontales vemos que; sen(π/2
– α) = cosα
Ahora observando
las verticales notamos que; cos(π/2 – α) = senα
Si extendemos la
definición de funciones de ángulos complementarios a todos los cuadrantes por la forma como cambia la función al operar
sobre este ángulo, veríamos que son complementarios todos los ángulos de la
forma (π/2 ± α) y (3π/2 ± α).
Ósea todos los
ángulos θ que están entorno de un múltiplo impar de π/2,
θ = [(2n+1)π/2 ± α]
sen((2n+1)π/2 ± α) =
– (–1)ⁿcosα (1)
cos((2n+1)π/2 ± α) =
± (–1)ⁿsenα (2)
Cambia
la función y el signo lo da el cuadrante de
θ
Circulo con todos los ángulos θ = [(2n+1)π/2 ± α]
Para las funciones de los ángulos complementarios, ya
sabemos que cambia la función ósea de seno a coseno, y de coseno a seno y el
signo solo dependerá del signo de la función del ángulo complementario
correspondiente ya que tanto seno como coseno son positivos en el primer
cuadrante.
De las dos ecuaciones generales anteriores se obtienen
los valores siguientes;
sen(π/2 – α) =
cosα cuadrante I senx es positivo
cos(π/2 – α) =
senα cuadrante I cosx es positivo
sen(π/2 + α) =
cosα cuadrante II senx es positivo
cos(π/2 + α) = – senα cuadrante II cosx es negativo
sen(3π/2 – α) =
– cosα cuadrante III senx es negativo
cos(3π/2 – α) =
– senα cuadrante III cosx es negativo
sen(3π/2 + α) =
– cosα cuadrante IV senx es negativo
cos(3π/2 + α) = senα cuadrante IV cosx es positivo
Donde x es un
ángulo que pertenece a cualquier cuadrante medido desde cero (el inicio)
Funciones de ángulos suplementarios
Como se aprecia en
le figura las funciones del ángulo suplementario de α
(Que es “π –α”),
están relacionadas con las funciones del ángulo simple α.
Mirando las dos
verticales vemos que; sen(π/2 – α) = senα
Ahora observando
las horizontales notamos que; cos(π/2 – α) = – cosα
Si extendemos la
definición de funciones de ángulos suplementarios a todos los cuadrantes por la forma como cambia la función al operar
sobre este ángulo, veríamos que son complementarios todos los ángulos de la forma (π ± α)
y (2π ± α).
Ósea todos los
ángulos θ que están entorno de un múltiplo par de π/2,
θ = [(2n)π/2 ± α]
sen((2n)π/2 ± α) =
± (–1)ⁿsenα (3)
cos((2n)π/2 ± α) =
(–1)ⁿcosα (4)
Se
conserva la función y el signo lo sabemos del comportamiento positivo o
negativo las funciones trigonométricas seno y coseno en ese cuadrante de θ
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Circulo con todos los ángulos θ = [(2n)π ± α]
Para las funciones de los ángulos suplementarios, ya
sabemos que no cambia la función ósea
seno = seno, y coseno a coseno y el signo solo dependerá del signo de la
función del ángulo suplementario correspondiente ya que tanto seno como coseno
son positivos en el primer cuadrante.
De las dos ecuaciones anteriores (3) y (4), se
obtienen los valores siguientes;
sen(2π + α) =
senα cuadrante I senx es positivo
cos(2π + α) =
cosα cuadrante I cosx es positivo
sen(π – α) =
senα cuadrante II senx es positivo
cos(π – α) = – cosα cuadrante
II cosx es negativo
sen(π + α) =
– senα cuadrante III senx es negativo
cos(π + α) =
– cosα cuadrante III cosx es negativo
sen(2π – α) =
– senα cuadrante IV senx es negativo
cos(2π – α) = cosα cuadrante
IV cosx es positivo
Para los signos, se cumple el mismo orden de
los ángulos complementarios
Donde x es un ángulo que pertenece a
cualquier cuadrante medido desde cero (el inicio)
Función suma de dos ángulos cos(α+β)
Nuestro cometido es aplicar el teorema de Pitágoras al
triangulo grande dentro del circulo para ello debemos saber que el lado mayor
es igual a (cosθ + 1) y la hipotenusa
es D. Como vemos θ+α+β = π, así que θ = π – (α+β). Por lo tanto hallemos
primero D ayudándonos del grafico de la derecha.
D² = (senα + senβ)² + (cosβ – cosα)²
= sen²α + 2senαsenβ+ sen²β + cos²β –2cosβcosα + cos²α
= (sen²α +
cos²α) + (sen²β + cos²β) – 2(cosβcosα –
senαsenβ)
D² = 2 – 2(cosβcosα – senαsenβ) (1) è del triangulo mayor.
D² = sen²θ + (cosθ + 1)² = sen²θ + cos²θ + 2cosθ + 1 = 1 + 2cosθ + 1
D² = 2 + 2cosθ (2)
Dado que la ecuación (1) es igual a (2) tenemos
2 +
2cosθ = 2 – 2(cosβcosα – senαsenβ)
cosθ = – (cosβcosα – senαsenβ) reemplazamos
θ = π – (α+β)
cos [π – (α+β)] =
– (cosβcosα – senαsenβ) hacemos
cos (π-x) = – cos x
– cos (α+β) = – (cosβcosα –
senαsenβ) eliminamos el
signo menos.
cos (α+β) = (cosβcosα – senαsenβ)
Función diferencia de dos ángulos
cos(α – β)
cos
(α+β) = cosβcosα – senαsenβ hacemos β = –β
cos
(α–β) = cos(–β)cosα – senαsen(–β) propiedad par e impar de cos y sen.
cos
(α–β) = cosβcosα – senα(–)senβ producto de signos (–)x(–) = +;
cos (α–β) = cosβcosα
+ senαsenβ
Es
simple de recordar en el coseno se conserva la función mas no el signo.
Función suma de dos ángulos
sen(α+β)
Para
calcular el sen(α+β) debemos
reemplazar en la anterior Ec del cos (α+β)
α = π/2 – θ; y β = – φ; entonces
quedara así,
cos
[(π/2 – θ)+ (– φ) ] =
cos(π/2 – θ)cos(– φ) – sen( π/2 – θ)sen(– φ)
cos
[(π/2 – (θ + φ) ] =
cos(π/2 – θ)cos(– φ) – sen( π/2 – θ)sen(– φ)
Aplicando
la regla de ángulos complementarios, cos(π/2 – x)=
senx; y
sen(π/2 – x) = cosx;
y las propiedades par e impar
del coseno y seno respectivamente;
è cos(–x) = cosx; y
sen(–x) = – senx;.
sen(θ + φ) = sen θcosφ – cos θ(–)senφ producto
de signos (–)x(–) = +;
sen(θ + φ) = sen θcosφ + cos θsenφ)
Función diferencia de dos ángulos
sen(θ – φ)
sen(θ + φ) = sen θcosφ + cos θsenφ hacemos φ = – φ
sen(θ – φ) = sen θcos(– φ) + cos θsen(– φ) propiedad
par e impar de cos y sen.
sen(θ – φ) = sen θcosφ + cos θ(–)sen φ producto
de signos (+)x(–) = –;
sen(θ – φ) = sen
θcosφ – cos θsen φ
Función del ángulo doble
Para
calcular el sen(2x) debemos
reemplazar en la ecuación anterior del sen (α+β)
“α = x” y “β = x”:
sen(θ + φ) = sen θcosφ + cos θsenφ entonces quedara así
sen(x + x) = sen xcosx + cos xsenx agrupando
términos
sen(2 x) = 2sen xcosx
Para
calcular el cos(2x) debemos
reemplazar en la ecuación anterior del cos (α+β)
“α = x” y “β = x”:
cos
(α+β) = cosβcosα – senαsenβ entonces quedara así
cos (x
+ x) = cosxcosx – senxsenx agrupando
términos
cos
(2x) = cos²x – sen²x = cos²x – (1 - cos²x) agrupando
cos (2x) = 2cos²x – 1 (1) = (1 –
sen²x) – sen²x agrupando
cos (2x) = 1 – 2sen²x (2)
Función del ángulo medio
Para
calcular el cos(x/2) debemos despejar
en la ecuación anterior (1) el cos²x
cos²x = (cos (2x) – 1)/2 ahora hacemos x = x/2 y radicamos
cos(x/2) = √[cos (x) – 1)/2] =
{cos (x) – 1)/2}¹/²
Para
calcular el sen(x/2) debemos despejar
en la ecuación anterior (2) el sen²x
sen²x = (1 – cos2x)/2 ahora hacemos x = x/2 y radicamos
sen(x/2) = √[(1
– cos (x))/2] = {(1– cos
(x))/2}¹/²
Función adición del coseno ósea cos a ± cos b
Para el caso
positivo vamos a sumar termino a termino las Ecs cos(α ± β) así
cos
(α+β) = cosβcosα –
senαsenβ
cos (α–β) = cosβcosα + senαsenβ sumamos por la vertical
cos (α+β) + cos (α–β) = 2 cosβcosα (1) el
segundo termino del lado derecho se anula
Ahora como queremos que a
= α+β (2) y b = α–β (3) entonces
Despejamos α de (3) y lo reemplazamos en (2) así podemos despejar β
α =b + β → a = (b + β) +β → a = b + 2β → β = (a – b)/2
Ahora despejamos β
de (3) y lo reemplazamos en (2) así podemos despejar α
β = α – b → a = α+ (α – b) → a = 2α – b) → α = (a + b)/2
Ahora si
reemplazamos los valores de α y β en la ecuación (1) obtenemos:
cos (α+β) + cos (α–β) = 2 cosβcosα = 2
cosαcosβ
cos (a) + cos (b) = 2 cos((a + b)/2)cos((a – b)/2)
Para el caso negativo vamos a restar termino a termino
las Ecs cos(α ± β) así
cos
(α+β) = cosβcosα –
senαsenβ
cos (α–β) = cosβcosα + senαsenβ restamos por la vertical
cos (α+β) – cos (α–β) = – 2 senαsenβ (4) el
primer termino del lado derecho se anula
Ahora si reemplazamos los valores
de α y β en la ecuación (4) obtenemos:
cos
(a) – cos (b) = – 2 sen((a + b)/2) sen((a – b)/2)
Solo nos
resta hacer lo mismo para el seno
Función adición del seno ósea sen a ± sen b
Para el caso
positivo vamos a sumar termino a termino las Ecs sen(α ± β) así
sen(θ + φ) = senθcosφ + cosθsenφ
sen(θ – φ) = senθcosφ – cosθsenφ sumamos
por la vertical
sen(θ + φ) + sen(θ – φ) = 2 senθcosφ (5) el segundo termino del lado
derecho se anula
Ahora si reemplazamos los valores
de α y β en la ecuación (5) obtenemos:
sen
(a) + sen (b) = 2 sen((a
+ b)/2) cos((a – b)/2)
Para el caso negativo vamos a restar termino a termino
las Ecs sen(α ± β) así
sen(θ + φ) = senθcosφ + cosθsenφ
sen(θ – φ) = senθcosφ – cosθsenφ restamos
por la vertical
sen(θ + φ) – sen(θ – φ) = 2 cosθsenφ (6) el primer termino del lado derecho se anula
Ahora si reemplazamos los valores
de α y β en la ecuación (6) obtenemos:
sen
(a) – sen (b) = 2 cos((a + b)/2)
sen((a – b)/2)
Se nota como para el coseno la
función diferencia es negativa y para el seno es positiva, seguro debido a que
el coseno es par, ósea positivo para un ángulo negativo.
Como
pueden ver hemos ido obteniendo todas las ecuaciones en una forma hilada
siempre hallando esta a partir de la anterior, en un proceso constructivo.
Aquí no brotan las cosas de la
manga del profesor ni aparecen por arte de magia solo son el resultado de la
necesidad de saber que pasaría si hago esto o lo otro.
Razones trigonométricas de 30°
Si el ángulo α = 30° =>
para calcular las razones trigonométricas en el triangulo ABC (abc), hacemos
una imagen especular de este sobre el eje X. Con lo cual obtenemos un triangulo
equilátero, ya que el nuevo triangulo ABB' (abb') tiene dos lados iguales al
radio del circulo que es r =1, y 2α = 60° y como β = β' = 60°. Por lo tanto los
tres lados son iguales y su valor es 1, y el lado opuesto a 2α es igual a 2y.
2y = 1, => y = 1/2 = 0,5 Así
→y =senα = 1/2
Ahora regresamos a nuestro triangulo inicial para calcular el valor del
cateto adyacente por el teorema de Pitágoras, “Xptg” tenemos.
x² + y² = r² => (1/2)²
+ x² = 1 =>
x² = 1- 1/4 = 3/4 => x =
?3/2
Asi, cosα = ?3/2 ? 0,866025
=> tanα = y/x = senα α /cosα = (1/2)/(?3/2) = 1/?3 = ?3/3 ? 0,577
Razones trigonométricas de 45°
En un triangulo rectángulo con un ángulo de 45°, el otro ángulo también
vale 45° y por lo tanto los dos catetos
son iguales así que, opuesto es igual a adyacente ==> x = y.
x² + y² = 1² y como x = y è 2x² = 1 Así
que x² = 1/2 è x = 1/
cos 45° = x = 1/ = /2 =
0,707
= /2 =
0,707
sen 45° = cos 45° = /2 =
0,707
/2 =
0,707
tan 45° = x/x = 1 è cot 45° = x/x = 1
sec 45° = 1/x = è cot 45° = 1/y =
è cot 45° = 1/y =
Definición de números
complejas
Los números complejos surgen
de la necesidad de extender en un marco general a los recientes llegados,
números imaginarios que aparecen como solución a (√-1) = i
Sea cualquier numero real
“a” entonces -a = (√-1)(√a) = i(√a).
Esto es un imaginario.
Cuando observamos los dos
conjuntos numéricos, el conjunto de los reales y el conjunto de los imaginarios
puros, vemos que los podemos representar a unos en la recta real y los
imaginarios en una recta que llamaremos (i)
recta de los números imaginarios.
Así aparecen los números complejos que son todos aquellos que
pertenecen al plano generado por la recta real y la recta de los imaginarios.
Llamaremos a los números complejos con la letra Z
Z = a + ib donde a es la parte real y (ib) será la parte imaginaria.
Ósea que un número complejo es como un vector que tiene una componente
en el eje real y otra en el eje de los imaginarios.
También hay otra forma de escribir un numero complejo en coordenadas
angulares
Z = Rcosθ + iRSenθ == R(Cosθ
+ iSenθ) = a + ib = a + iθ ==> θ E
R
eZ = e a + iθ = e a eiθ
= R eiθ = R(Cosθ + iSenθ). Ahora
hacemos R = 1. ==>
Hay varias maneras de probar que
eiθ = Cosθ + iSenθ
Una de ellas es remplazando iθ en
la expansion en seria de Taylor de la expponencial y separando las partes real
e imaginaria.
Otra es comprobando la primera y segunda derivadas de la exponencial
imaginaria para darnos cuenta que las únicas funciones que cumplen son Seno y
coseno.
eiθ =
Cosθ + iSenθ (3)
eiβ =
Cosβ + iSenβ (4)
Si multiplicamos entre si los lados izquierdos de las ecuaciones (3) y
(4) tenemos.
eiθ eiβ = ei(β+θ)
= Cos(θ+β) + iSen(θ+β) (5)
Si multiplicamos entre si los lados derechos de las ecuaciones (3) y
(4) tenemos
(Cosθ + iSenθ)(Cosβ + iSenβ)
= CosθCosβ + i2 SenθSenβ
+ iSenβCosθ + iSenθCosβ
Ya que i2 = -1 obtenemos
la ecuación (6)
(Cosθ + iSenθ)(Cosβ + iSenβ)
= (CosθCosβ – SenθSenβ) + i(SenβCosθ + Senθ Cosβ)
Dado que (5) y (6) son iguales, ya que fueron obtenidas al multiplicar
lado a lado las igualdades (3) y (4);
Entonces igualaremos los lados derechos de (5) y (6) entre si.
Cos(θ+β)+ iSen(θ+β)=
(CosθCosβ – SenθSenβ)+ i(SenβCosθ + SenθCosβ)
Separando los reales de los imaginarios
Cos(θ+β) = CosθCosβ –
SenθSenβ
iSen(θ+β) = i(SenβCosθ +
SenθCosβ) ahora podemos eliminar la i en
ambos lados.
Y ya tenemos la ecuaciones seno y coseno para la suma de dos angulos.
Sen(θ+β) =
SenβCosθ + SenθCosβ
Cos(θ+β) = CosθCosβ
– SenθSenβ
Para deferencia solo hay que hacer β = – β con coseno par y seno
impar →
Sen(θ–β) = Sen–βCosθ +
SenθCos–β
Cos(θ–β) = CosθCos–β – SenθSen–β
Sen(θ–β) = –SenβCosθ + SenθCosβ
Cos(θ–β) = CosθCosβ –(–) SenθSenβ
Sen(θ–β) = SenθCosβ –
SenβCosθ
Cos(θ–β) = CosθCosβ +
SenθSenβ
Trigonometria aplicada a triangulos
Teorema del coseno
Tomamos un triangulo cualquiera y trazamos una
perpendicular a uno de sus catetos por lo tanto los dos triángulos resultantes
son rectángulos (lo he dibujado así para
facilitar el grafico y mostrar la perpendicular a los tres lados “a, b, c”)
Si miramos cada triangulo individualmente vemos que los
valores de los lados cortos o catetos se hallan en función del ángulo del
triangulo de color.
En cada uno de los tres triángulos se aplica el teorema
de Pitágoras al triangulo en blanco
Comencemos aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo
en blanco del dibujo de la izquierda
a² = c²sen²α + (b – c cosα)² resolviendo
el binomio cuadrado →
a² = c²sen²α + b² –2bccosα + c²cos²α agrupando para c²
a² = c²(sen²α + cos²α) + b² –2bccosα y dado que sen²α + cos²α =1 →
a² = b² + c²–2bccosα
Hemos obtenido el teorema del coseno para
cualesquiera tres lados “a,b,c” de cualquier triangulo. Donde expresamos el
valor de un lado cualquiera en función de los otros dos lados y el coseno del
ángulo entre estos.
En el siguiente triangulo lo puedes hacer para b² y en tercero lo haces para c²
b² = a² + c²–2accosβ
c² = b² + a²–2abcosφ
Teorema del seno
Igual que en el teorema del coseno tomamos un triangulo
cualquiera y trazamos una perpendicular a uno cualquiera de sus lados (h, h′,
h′′)
En el triangulo I expresamos h en función de (c, α) y (a, φ)
h =
csenα = asenφ → (c/senφ) = (a/senα) (1)
En el triangulo II expresamos h′ en función de (b, α) y (a, β)
h′ =
bsenα = asenβ → (b/senβ) = (a/senα) (2)
En el triangulo III expresamos h′′ en función de (b, φ) y (c, β)
h′′ =
bsenφ = csenβ → (b/senβ) =
(c/senφ) (3)
De (1) y (2) tenemos que:
(c/senφ) = (b/senβ) A
De (2) y (3) tenemos que:
(a/senα) = (c/senφ) B
De (1) y (3) tenemos que:
(a/senα) = (b/senβ) C
Igualmente de (A) y (C) tenemos que:
(a/senα) = (b/senβ) = (c/senφ = k)
Que es el teorema del seno.
Hallemos el valor de la constante k (caso particular)
Primero
que todo recordemos que el ángulo β entre dos cuerdas secantes en una
circunferencia de radio r, es igual a la mitad del ángulo φ del arco que
delimitan.
Ahora si
hacemos φ = 180º entonces β será igual a
90º un ángulo recto
(Este caso particular es valido solo si alguno de los ángulos vale 90 grados ósea para triángulos rectos).
Si en el
teorema del seno hacemos b = 2r, siendo r el radio de la circunferencia
circunscrita y de todos los infinitos triángulos de lados a, b, c. escogemos
solo aquellos cuyo ángulo β sea el formado por los dos catetos del triangulo
inscrito en una semicircunferencia de diámetro 2r.
Ósea
confinamos el triangulo a la semicircunferencia de radio r, por lo tanto dado
que (2r = b) es la cuerda que une las
dos secantes que forman el ángulo β y 2r extiende un ángulo de 180º el ángulo β
siempre valdrá 90º. Así:
(b/sen
β) = (2r/sen90º) = 2r/1 =
2r por
lo tanto.
(a/senα) = (b/senβ) = (c/senφ
= 2r)
Realizado por William hoyos hincapié
“Willcox27”
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He ahí que el hombre creo a dios a su imagen y semejanza
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