Métodos para mejorar el calculo mental, formulas nemotécnicas, incluye recopilación histórica y desarrollos propios.
Calculo mental “Wilho”
Por Willcox27
1 Cuadrados de los números de 1 a 100
Notas preliminares;
Sea el producto;
ab * xy =
Unidades de b + y; ósea U(b + y) = (b+y) – 10
==> U(b+y) = U.
Complemento de b; ósea b = 10–b.
Complemento de ab, ósea ab = 100 – ab.
Sea a y b dos números de una sola cifra
cada uno
ð
I¹^ a^b
= ab; (que es un número de dos
cifras).
Sea a y bc siendo "a" un
número de una cifra y "bc" uno de dos cifras
ð
II¹^ a^bc = (a+b)c; (que puede ser de 2 o 3 cifras).
ð
II²^ a^bc = abc; (que
es de 3 cifras).
Sea ab y c siendo "ab" un
número de dos cifras y "c" uno de una cifra
ð II¹* ab^c = abc; (que es un numero de tres
cifras).
Sea a, b y c siendo "a" "b"
"c" números de una cifra.
ð III¹^ a^b^c = abc; (que
es un numero de tres cifras).
1,1 Cuadrados de los números del 1 al 20
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
1.1.0 Las
unidades de la suma de unidades U(a+b) ^ el producto de los complementos de unidades.
6 x 6 =
2^16 = 36 = U(6 + 6)^(6 x 6) = (6 + 6 -
10)^(4x4)
7 x 7 =
4^9 = 49 = U(7 + 7)^(7 x 7) = (7 + 7 - 10)^(3x3)
8 x 8 =
6^4 = 64 = U(8 +
8)^(8 x 8)
= (8 + 8 - 10)^(2x2)
9 x 9 =
8^1 = 81 = U(9 + 9)^(9 x 9)
= (9 + 9 - 10)^(1x1)
10 x 10 = 100
1.1.1 El primero mas las unidades del otro ^
el producto de las unidades.
ab * ab = (ab + b) ^ b² = xy ^ wz = x(y+w)z
11 x 11 = (11 + 1) ^ 1² =
121 = (11 + U(11))^(U(11) x
U(11))
12 x 12 = (12 + 2) ^2² =
144 = (12 + U(12))^(U(12) x
U(12))
13 x 13 = (13 + 3) ^ 3² =
169 = (13 + U(13))^(U(13) x
U(13))
14 x 14 = (14 + 4) ^ 4² =
196 = (14 + U(14))^(U(14) x
U(14))
15 x 15 = 1*(1 + 1) ^ 25 = 225 = a*(a + 1) ^
b²
1.1.2 El
primero mas las unidades (ab + b) ^ b² el producto de las unidades.
O en la segunda opción
[ab + b + U(b + b)] ^ (b x b) el producto de los complementos.
16 x 16 = (16 + 6) ^ 36 = 256 =
(ab + b) ^ b²
= (16 + 6 + 2) ^ 4² =
256 = (16 + U(16) + U(6 + 6))^(6
x 6)
= 2 ^ 4 ^ 16 =
256 = ((1+1)x1) ^ (2x(6 + 6- 10))
^ (4x4)
17 x 17 = (17 + 7) ^ 49 = 289
= (17 + 7 + 4) ^ 3² = 289 = (17 + U(17) + U(7 + 7))^(7 x 7)
= 2 ^ 8 ^ 9 = 289 => II¹^, II¹*
18 x 18 = (18 + 8) ^ 64 = 324
= (18 + 8 + 6) ^ 2² = 324 =
(18 + U(18) + U(8 + 8))^(8 x 8)
= 2 ^ 12 ^ 4 =
324 => II¹^, II¹*
19 x 19 = (19 + 9) ^ 81 = 361 Decenas suman a la izquierda
= (19 + 9 + 8) ^ 1² = 361 =
(19 + U(19) + U(9 + 9))^(9 x 9)
= 2 ^ 16 ^ 1 =
361 = a + a ^ 2*U ^ by
20 x 20 = (2 x 2) ^ 00 = 400
1.2 Cuadrados
de los números del 21 al 24 con U < 0
ab * ab = a²
^ 2a*b ^ b² = (10a + b)² = 10*(10a²
+ 2a*b) + b
Otra = a*(ab + b) ^ b²
I La
decena se suma a la izquierda.
21 x 21 = 2x2
^ 2x2 x 1 ^ 1² = 441 = a² ^ 2a*b ^
b²
= 4 ^ 4 ^ 1 = 441 = a² ^ 2a*b ^
b²
= 2*(21 + 1) ^ 1² = 441
= a*(ab + b)
^ b²
22 x 22 = 4 ^ 8 ^ 4 =
484
= 2*(22 + 2) ^ 2² =
484
23 x 23 = 4 ^ 12 ^ 9 = 529
= 2*(23 +
3) ^ 3² = 529
24 x 24 = 4 ^ 16 ^ 16 =
576
= 2*(24 + 4)
^ 4² = 576
25 x 25 = 2*(2 + 1) ^ 25 = 6^25 = 625
1.3
Cuadrados de los números del 26 a 36 con U > 0
ab * ab =
a*(a + 1) ^ U*(a + 1) ^ b² donde
U = (b + b – 10) y U > 0
I La decena de b² se suma a la izquierda con U*(a + 1).
II La decena
de U*(a + 1) se suma a la izquierda con a*(a + 1).
III
Cuando se resta se usa el producto de
los complementos.
26 x 26 =
6 ^ 6 ^ 16 = 676 = 2*(2 + 1) ^ (6
+ 6 – 10) *(2 + 1)
^ 6²
= 4 ^ 24 ^ 36 = 676 = a²^2a*b^b² Decenas suman a la izquierda
=
2*(26 + 6)^36 = 676 = [2*(26 + 6) + 2] ^ 16
= [90 – 6*4]^16 = 676 = [3*(26 + 6) – (2*3 x 6)]^[6
x 6]
27 x 27 =
6 ^ 12 ^ 9 = 729 => Decenas suman a la izquierda.
= [90 – 6*3]^9 = 729 = [3*(27 + 7) – (2*3 x 7)]^[7
x 7]
=
2*(27 + 7)^49 = 729
28 x 28 =
6 ^ 18 ^ 4 = 784 => La decena central suma a la izquierda.
= [90 – 6*2]^4 = 784 = [3*(28 + 8) – (2*3 x 8)]^[8
x 8] #
=
2*(28 + 8)^64 = 784
29 x 29 =
6 ^ 24 ^ 1 = 841 => La decena central suma a la izquierda.
= [90 – 6*1]^1 = 841 = [3*(29 + 9) – (2*3 x 9)]^[9
x 9]
=
2*(29 + 9)^81 = 841
30 x 30 =
9^00 = 900 =
[3 x 3]^00
1.3.1 I
Si la suma de unidades <
10 è
ab *
ab = a² ^ 2*a*b ^
b²
II La decena suma a la izquierda.
Nota; Sea “abc y de”, ósea (abc ^ de) = ab(c + d)e.
ab * ab = a²
^ 2a*b ^ b² = (10a + b)² = 10*(10a²
+ 2a*b) + b²
31 x 31 = 9 ^ 6 ^ 1 = 961
=
[90 + 6*1]^1 = 961 = [3*(31 - 1) + (2*3 x 1)]^[1 x 1]
= 3*(31 + 1)^1² =
961
32 x 32 = 9 ^ 12 ^ 04 = 1024 =>
&
= [90 + 6*2]^4 =
1024 = [3*(32 -
2) + (2*3 x 2)]^[2 x 2]
=
3*(32 + 2)^4 = 1024
33 x 33 =
9 ^ 18 ^ 09 = 1089
= [90 + 6*3]^9 =
1089 = [3*(33 -
3) + (2*3 x 3)]^[3 x 3]
=
3*(33 + 3)^9 = 1089
34 x 34 =
9 ^ 24 ^ 16 = 1156
= [90 + 6*4]^16 =
1156 = [3*(34 -
4) + (2*3 x 4)]^[4 x 4]
=
3*(34 + 4)^16 = 1156
35 x 35 =
12^25 = 1225 = [3 x (3 + 1)]^25
ab * ab =
a*(a + 1) ^ U*(a + 1) ^ b² Con
2b > 10
36 x 36 = 12
^ 8 ^ 16 = 1296
= [90 + 6*6]^36 = 1296 = [3*(36 -
6) + (2*3 x 6)]^[6 x 6]
=
3*(36 + 6)^36 = 1296
37 x 37 = 12
^ 16 ^ 9 = 1369
= [90 + 6*7]^49 = 1369 = [3*(37 -
7) + (2*3 x 7)]^[7 x 7]
=
3*(44)^49 = 1369
38 x 38 = 12
^ 24 ^ 4 = 1444
= [90 + 6*8]^64 = 1444 = [3*(38 -
8) + (2*3 x 8)]^[8 x 8]
=
3*(46)^64 = 1444
39 x 39 =
12 ^ 32 ^ 1 = 1521
= 3*(48)^81 = 1521
1.4 Cuadrados
de los números del 37 al 60. Usando (25, 50)
Nota; Sea ab y cde,
Así ab ^ cde = a^(b + c)^de.
N x N = 100(N – 25) + (50 – N)(50 – N)
Nota: las centenas del segundo número se
suman al primero
37 x 37 = 12^169 =
1369 = (37 – 25)^(50 - 37)²
38 x 38 = 13^144
= 1444 = (38 – 25)^(50 – 38)²
39 x 39 =
14^121 = 1521 = (39 – 25)^(50 – 39)²
40 x 40 = 16^00 = 1600 =
(4 x 4)^00
41 x 41 = 16^81
= 1681 =
(41 – 25)^(50 – 41)²
42 x 42 = 17^64
= 1764 =
(42 – 25)^(50 – 42)²
43 x 43 = 18^49
= 1849 =
(43 – 25)^(50 – 43)²
44 x 44 = 19^36
= 1936 =
(44 – 25)^(50 – 44)²
45 x 45 = 20^25 = 2025 =
[4 x (4 + 1)]^ (50 – 45)²
46 x 46 = 21^16
= 2116 =
(46 – 25)^(50 – 46)²
47 x 47 = 22^09
= 2209 =
(47 – 25)^(50 – 47)²
48 x 48 = 23^04
= 2304 =
(48 – 25)^(50 – 48)²
49 x 49 = 24^01
= 2401 =
(49 – 25)^(50 – 49)²
50 x 50 = 25^00 = 2500 =
(5 x 5)^00
51 x 51 = 26^01
= 2601 =
(51 – 25)^(50 – 51)²
52 x 52 = 27^04
= 2704 =
(52 – 25)^(50 – 52)²
53 x 53 = 28^09
= 2809 =
(53 – 25)^(50 – 53)²
54 x 54 = 29^16
= 2916 =
(54 – 25)^(50 – 54)²
55 x 55 = 30^25 = 3025 =
[5 x (5 + 1)]^25
56 x 56 = 31^36
= 3136 =
(56 – 25)^(50 – 56)²
57 x 57 = 32^49
= 3249 =
(57 – 25)^(50 – 57)²
58 x 58 = 33^64
= 3364 =
(58 – 25)^(50 – 58)²
59 x 59 = 34^81
= 3481 =
(59 – 25) ^ (50 – 59)²
60 x 60 = 36^00 = 3600 =
[6 x 6] ^ 00
1.5.0 Cuadrado de números entre 61 y 69.
Con 6 * 6 = 24 y D = 2
ab x ab = a² + b ^ D*b ^ b². ==>
D = 2*a – 10 con D > 0.
61 x 61 = 3721 =
37 ^ 2 ^ 1 = (6² + 1) ^ (2 * 1) ^ 1²
=
(61 – 24) ^ (2 * 1) ^ 1
62 x 62 = 3844 =
38 ^ 4 ^ 4
= (62 –
24) ^ (2 * 2) ^ 4
63 x 63 = 3969 =
39 ^ 6 ^ 9
= (63 – 24) ^ (2 * 3) ^ 9
64 x 6 4 =
4096 = 40 ^ 8 ^ 16
= (64 – 24) ^ (2 * 4) ^ 16
65 x 65 = 4225
66 x 66 = 4356 =
42 ^ 12 ^ 36 Decenas suman a la izquierda
=
42 ^ 14 ^ 16 = a² + b ^ D*b + U ^ b²
= (66 – 24) ^ (2*6) ^ 36
67 x 67 = 4489 =
43 ^ 14 ^ 49 Decenas suman a la izquierda
=
43 ^ 18 ^ 9 = a² + b ^ D*b + U ^ b²
= (67 – 24) ^ (2*7) ^ 49
68 x 68 = 4624 =
44 ^ 16 ^ 64 Decenas suman a la izquierda
=
44 ^ 22 ^ 4 = a² + b ^ D*b + U ^ b²
= (68 – 24) ^ (2*8) ^ 64
69 x 69 = 4761 =
45 ^ 26 ^ 1 = a² + b ^ D*b + u ^ b².
= (69 – 24) ^ (2*9) ^ 81
70 x 70 = 4900 =
49^00
Para productos ab
* ab = a² + b ^ D*b + U ^ b². Con U = 2*b –
10 > 0 ^ con a – a = 0.
También 7 * 7 = 7 * 3 = 21. y D = 2*7 – 10 = 4 y ab * ab = a² + b ^ D*b ^
b².
71 x 71 = 5041 =
(49 + 1) ^ 4*1 ^ 1² = a² + b ^ D*b ^ b²
= (71 – 21) ^ (4*1) ^ 1 = ab – a*a ^ D*b ^ b²
72 x 72 = 5184 = (49 + 2) ^ 4*2 ^ 2²
= (72 – 21) ^ (4*2) ^ 4
73 x 73 = 5329 = (49 + 3) ^ 4*3 ^ 3²
= (73 – 21) ^ (4*3) ^ 9
74 x 74 = 5476 = (49 + 4) ^ 4*4 ^ 4²
= (74 – 21) ^ (4*4) ^ 16
75 x 75 = 5625 =
7*8 ^ 25
Para productos con a – a = 0 ^ U > 0
ab * ab = a² + b ^ D*b + U
^ b². Con U = 2*b – 10 > 0
76 x76 = 5776 =
(49 + 6) ^ (4*6 + 2) ^ 16
= (76 – 21) ^ (4*6) ^ 36
77 x 77 = 5929 =
(49 + 7) ^ (4*7 + 4) ^ 9
= (77 – 21) ^ (4*7) ^ 49
78 x 78 = 6084 =
(49 + 8) ^ (4*8 + 6) ^ 4
= (78 – 21) ^ (4*8) ^ 64
79 x 79 = 6241 = (49 + 9) ^ (4*9 + 8) ^ 1
=
(79 – 21) ^ (4*9) ^ 81
80 x 80 = 6400 =
64^00
1.6
Aplicamos ab * ab = a² + b ^ D*b ^ b² con 8 * 8 = 16 y D = 6
y
También
el complemento a la centena CC. (C – C) ^ C² Siendo,
C = 100 – C
ab * ab = a² + b ^ D*b ^ b².
81 x 81 = 8 * 8 + 1 ^ 6*1 ^ 1 = 6561 = a² +
b ^ D*b ^ b²
= (81 – 16) ^ 6*1 ^ 1 = 6561 =
ab – a*a ^ D*b ^ b²
=
(81 – 19) ^ 19² = 62^361 = 6561
= (82 – 20)^[(19 + 9)^81] CC.
82 x 82 = 66 ^ 12 ^ 4 = 6724 Decenas suman a la izquierda.
= (82 – 16) ^ 6*2 ^ 4 = 6724
=
(82 – 18) ^ 18² = 64^324 = 6724
83 x 83 = 67 ^ 18 ^ 09 = 6889 Decenas suman a la izquierda.
=
(83 – 17) ^ 17² = 66^289 = 6889
= (86 – 20) ^ [(17 + 7)^49]
84 x 84 = 68 ^ 24 ^ 16 = 7056 Decenas suman a la izquierda.
=
(84 – 16) ^ 16² = 68^256 = 7056
85 x 85 =
7225
86 x 86 = (8² +
6) ^ (6*6 + 2) ^ 4² = 7396 a² + b ^ D*b + U ^ b².
=
70 ^ 38 ^ 16 =
7396
=
(86 – 14) ^ 14² = 72 ^ 196 = 7396
87 x 87 = (8² +
7) ^ (6*7 + 4) ^ 3² = 7569 a² + b ^ D*b + U ^ b².
=
71 ^ 46 ^ 9 =
7569 Decenas suman a la izquierda
=
(87 – 13) ^ 13² = 74 ^ 169 = 7569
88 x 88 = (88 – 12) ^ 12² = 76 ^ 144 =
7744
89 x 89 = (89 – 11) ^ 11² = 78 ^ 121 = 7921
90 x 90 =
8100
91 x 91 = (91 – 09) ^ 81 =
8281
92 x 92 = (92 – 08) ^ 64 =
8464
93 x 93 = (93 – 07) ^ 49 =
8649
94 x 94 = (94 – 06) ^ 36 =
8836
95 x 95 =
9025
96 x 96 = (96 – 04) ^ 16 =
9216
97 x 97 = (97 – 03) ^ 09 =
9409
98 x 98 = (98 – 02) ^ 04 =
9604
99 x 99 = (99 – 01) ^ 01 =
9801
100 x 100 =
10000.
1.6.1 Producto de números cercanos a 100.
Basados en la diferencia con 100.
92 x 97 =
(92 – 7) ^ 2 x 7 =
8924
89 x 96 = (89 – 4) ^ 4 x 11 =
8544
102 x 102 = (102 + 2)^02² = 10404
112 x 112 = (112 + 12)^12² = 12544
107 x 113 = (113 + 7) ^ 7*13 = 12091
98 x 105 = (105 – 2) ^ – 2 * 5 = 10300 – 10 =
10290
97 x 107 =
10400 – 21 =
10379
1.6.2 Producto de números entre 900 y 1000 MC- 10³
998 x 985 = (985 – 02) ^ 02*15 = 983030
988 x 976 = (988
– 24) ^ 12*24 = 864288
896 x 904 = 900² – 4² = 809984 = 810.000 - 16
896 x 896 = (8100
– 72)^ 4² = 802816 ==> 72 = 2*4*9 de (900 – 4)²
896 x 896 ==>
complemento de 1000 es 104 así
104 x 104 = (104 + 4)^ 4*4 = 10816
896 – 104 = 792, =>x 1000 =792000
896 x 896 = 792^ 10816 = 802816
1070 x 1130 =
1200 ^ (130*70)
= 1200 ^ 9100 = 1'209100
1012 x 1100 =
1112 ^ 1200 =
1'113200
1075 x 1023 =
1098 ^ 1725 = 1'099725
1093 x 1096 =
1189 ^ 8928 = 1'197.928 MC- 10³ con MC- 10²
1.6.3 Producto con complemento de 10000 MC-10.000
Siempre restamos tomando los números de por la izquierda,
ósea en el siguiente ejemplo 99 y 95 el
complemento de 95 es 5 y eso se lo restamos a 99.
Como los números están por debajo del múltiplo de 10, el
complemento es negativo
9986 x 95 ==> producto de complementos – 14 * – 5 = 70
9986 – 5*100 = 9486
==>
9986 x 95 =
9486 ^ 70 = 948670
Cuando están por encima del múltiplo de 10 el complemento
es positivo aquí 103 y 102 dará 105 el 14 no cambia ya que miramos la cifras
por la izquierda.
10314 x 102 = 10514 ^ 628 = 1'052.028
10314 x 112 = 11514 ^
3768 = 1'155.168
Método “Willabel”
2.0
Multiplicación de números de dos o más cifras terminados en cinco
Con d = b – a,
b > a
a5 * b5 = [a( b
+ 1) ^ d*5 ^ 25.
15 x 25 = 375 = 1(2 + 1) ^ 1*5 ^ 25 Decenas suman a la izquierda.
25 x 35 = 875 = 2(3 + 1) ^ 1*5 ^25 = 8 ^ 05 ^ 25
=
6 ^ 5*(2 + 3) ^ 25
15 x 35 = 525 = 1(3 + 1) ^ 2*5 ^ 25 = 4 ^ 10 ^ 25
25 x 55 = 1375 = 2(5 + 1) ^ 3*5 ^ 25 = 12 ^
15 ^ 25
25 x 65 = 1625 = 2(6 + 1) ^ 5*5 ^ 25 = 14 ^
20 ^ 25
25 x 95 = 2375 = 2(9 + 1) ^ 7*5 ^ 25 = 20 ^
35 ^ 25
35 x 75 = 2625 = 3(7 + 1) ^ 4*5 ^ 25 = 24 ^ 20 ^ 25
45 x 95 = 4275 =
4(9 + 1) ^ 5*5 ^ 25 = 40 ^ 25 ^ 25
35 x 125 = 4375 =
3(12 + 1) ^ 9*5 ^ 25 = 39 ^ 45 ^ 25
125 x 135 = 16875 =
12(13 + 1) ^ 1*5 ^ 25 = 168 ^ 05 ^ 25
125 x 175 = 21875 =
[12(17 + 1) ^ 5*5 ^ 25 = 216 ^
25 ^ 25
35 x 1225 =
42875 = [3(122+1) + └(122-3)/2┘] ^ 75 =
(369 + 59) ^ 75
35 x 1225 =
42875 = [3(123) + └(119)/2┘] ^ 75 =
(369 + 59) ^ 75
Donde └(122-3)/2┘ =
la parte entera del cociente = └(119)/2┘= 59 si el numerador es par el
resultado final termina en 25 si es
impar termina en 75
3.0 Producto de
números de dos cifras equidistantes en (2b) unidades, ósea que tienen un número
medio entre los dos fácil de elevar al cuadrado.
(a – b)(a + b) =
a*a – b*b = a² – b²
29 x 31 = 899 = (30 – 1)(30 + 1) = 900 – 1
28 x 32 = 896 = (30 – 2)(30 + 2) = 900 – 4
27 x 33 = 891 = (30 – 3)(30 + 3) = 900 – 9
26 x 34 = 884 = (30 – 4)(30 + 4) = 900 – 16
25 x 35 = 875 = (30 – 5)(30 + 5) = 900 – 25
21 x 39 = 819 = 900 – 81
18 x 22 = 396 = 400 – 4
18 x 42 = 756 =
900 – 144
15 x 45 = 675 =
900 – 225
67 x 73 = 4891 =
4900 – 9
4.0 Producto de números
cuyas unidades suman 10 y tienen la misma decena.
va x vb = v*(v +
1) ^ (a*b)
46 x 44 = 4*(4
+ 1) ^ (6 x 4) = 2024
69 x 61 = 6*(6
+ 1) ^ (1 x 9) = 4209
38 x 32 = 12 ^
16 = 1216
81 x 89 =
7209
126 x 124 = 15624 = 125² – 1²
4.1 Producto de números cuyas decenas suman 10
y tienen las mismas unidades.
az * bz = [a*b + z]^z² ==>
ax * bx = (a*b + x)^x² ==> a + b = 10
34 x 74 = [21 +
4]^16 = 2516
47 x 67 = (24 + 7)^49 = 3149
83 x 23 = (16 + 3)^09 = 1909
17 x 97 = (9 + 7)^49 = 1649
4.2 Producto de números cuyas unidades suman (10 + U). y tienen la
misma decena.
De la forma ax*ay, donde x +
y ≠ 10, ósea U = y + x – 10 .
ax * ay =
100a*(a+1) + 10a*U + x*y
= [10*a(a + 1) + a*U] ^ x*y
87 x 86 =
720 + 24 ^ 42 = 7482 =
73 ^ 182 = 7482 MC
87 x 85 =
720 + 16 ^ 35 = 7395 = 7235 + 160
87 x 84 =
720 + 8 ^ 28 = 7308 =
7228 + 80
87 x 82 =
720 – 8 ^ 14 = 7134 = 7214 – 80
87 x 81 =
720 – 16 ^ 07 = 7047 = 7207 – 160
87 x 80 =
720 – 24 ^ 00 = 7960 = 7200 – 240
5.0 Multiplicar por 11
ab x 11 = a^(a + b)b
72 x 11 = 7^(7 + 2)^2 = 792
26 x 11 = 2^(2 + 6)^6 = 286
37 x 11 = 3^(3 + 7)^7 = 407
123 x 11 = 1^(1 +2)^(2 + 3)^3 = 1353
6.0 Cuadrados para terminados en 9 por
complementos M.C- 100, con "complemento de b" = b = 1.
(ab)*(ab) = [ ab – ab +
(a – 1)²] ^
b*{ab + (ab – b)}
Nota; a = 10 – a,
ab = 100 – ab,
79 x 79 = (79
– 21 + 4) ^ (21 + 20) = 6241
69 x 69 = (69 – 31 + 9) ^ (31 + 30) = 4761
68 x 68 = (68 –
32 + 9) ^ 2*(32 + 30) = 4624
67 x 67 = (67 –
33 + 9) ^ 3*(33 + 30) = 4489
89 x 89 = (89 –
11 + 1) ^ (11 + 10) = 7921
99 x 99 = 9801
6.1 Cuadrado de
números terminados en 9; A9 x A9
Binomio Cuadrado Perfecto
Binomio Cuadrado Perfecto
A9 x A9 = [10(A + 1)*(A + 1) – 2(A + 1)]^1
A9 x A9 = (10B² – 2B) ^ 1 Y B = A + 1,
69 x 69 =
(10*49 – 14)^1 = [490 ^
-14]^1 = 4761
Az x Az = (10B² – 2Bz) ^ z² Y B = A + 1, 5 < z > 10.
67 x 67 = (10*49 – 2*7*3) ^ 3² = (490 – 42)^ 9 = 4489
Aw x Aw = (10A² + 2Aw) ^ w² Con 0 < w > 5 ,
71 x 71 = (490 + 2*7) ^ 01 = 5041
73 x 73 = (490 + 2*7*3) ^ 3² = (490 + 42)^ 9 = 5329
6.2 Cuadrados para números; ab >> 50
por complementos, M.C- 100
por complementos, M.C- 100
(ab)*(ab) = [ ab – ab + (a + 1)²] ^ [2b*(ab
– b) + b²] Ec.General
66 x 66 = [66
– 34 + 9] ^ 8*30 + 16 = 41 ^ 256 = 4356
= 66 – 24 ^ 2*6
^ 6² = 42 ^ 156 = 4356
67 x 67 = [67
– 33 + 9] ^ 6*30 + 9 = 43 ^ 189 = 4489
= 67 – 24 ^ 2*7 ^ 49 = 43 ^ 189 = 4489
68 x 68 = [68
– 32 + 9] ^ 4*30 +4 = 45 ^ 124 = 4624
= 68 – 24 ^ 2*8 ^ 64 = 44 ^ 224 = 4624
71 x 71 = 49 ^ (70 + 71) =
49 ^ 141 = 5041
AB x AB = (AB – AA) ^ B*D ^ B² Con D = (A + A – 10)
74 x 74 = (49 + 4) ^ 16 ^16 = 53^16^16 = 5476
AB x AB = (A² + B) ^ B*D ^ B² Con D = (A + A – 10)
AB x AB = (AB – AA) ^ B*D ^ B² Con D = (A + A – 10)
74 x 74 = (49 + 4) ^ 16 ^16 = 53^16^16 = 5476
72 x 72 = (72 – 21) ^ 4*2 ^ 2
-------------------------------------------- ----------------------
AB x AB = (AB – AB) ^AB² Con AB = (100 – AB)
AB x AB = (AB – AB) ^AB² Con AB = (100 – AB)
81 x 81 = 64 ^ 80 + 81 = 64 ^ 161 =
6561
82 x 82 = 82 – 18 ^ 18² = 64 ^ 324 = 6724
83 x 83 = 83 – 17 ^ 17² = 66 ^ 289 = 6889
84 x 84 = 84 – 16 ^ 16² = 68 ^ 256 = 7056
88 x 88 =
88 – 12 ^ 12² = 76 ^ 144 = 7744
89 x 89 = 89 – 11 ^ 11² = 78 ^ 121 = 7921
7.0 Ecuación general del producto de 2 por 2
cifras
ab * xy =
a*x ^ (a*y + b*x) ^ b*y
= pq ^ cd ^ wz =
p(q + c)(d + w)z ==>
M. General
ab * xy = (a*xy + b*x) ^ b*y ==>
M. Alternativo
37 x 83 = 24 ^ (56 + 9) ^ 21 = 3071 M.G
= (249 + 56) ^ 21 = 3071
46 x 93 = 36 ^ 66 ^ 18 =
4278 = 3(6 + 6)(6 + 1)8 M.G
= (372 + 54) ^ 18 = 4278
26 x 39 = 6 ^ 36 ^ 54 = 1014 M.G
= (78 + 18) ^ 54 = 1014
78 x 97 =
63 ^ 121 ^ 56 = 7566 M.G
=
(7*97 + 72) ^ 7*8 = 7566
=
[97 – 22] ^ [3*22] = 7566 M.C.- 100
28 x 28 =
4 ^ 32 ^ 64 = 784 M.G
=
2*(28 + 8) ^ 64 = 784
83 x 92 =
72 ^ 43 ^ 6 = 7636 M.G
=
75 ^ 136 = 7636 M.C-100
E. General
ab * xy = a*x ^ [b*x + a*y] ^ b*y
43
x 89 = 4*8 ^ [3*8 + 4*9] ^ 3*9 =
3827
Ecuación canónica A => E.Ca
ab
* xy = a(x + 1) ^ [h*b + u*a] ^ b*y
Donde h = x – a,
x ≥ a
-----u = b + y – 10
43 x 89 = 4(8 + 1)^[3(8 – 4) + 4(3 + 9 – 10)]^ 3*9 = 3827
= 36 ^ (12 + 8)^ 27 = 3827
E.Ca-0
Suma de unidades = 10,
y decenas iguales con; b + y = 10, h =
0, y u = 0
ab * ay =
a(a + 1) ^ b*y
36 x 34 =
12 ^ 24 =
1224
E.Ca-1
Suma de unidades ≠ 10
y decenas iguales con; h = 0, u ≠ 0
ab * ay =
a(a + 1) ^ u*a ^ b*y
43 x 49 =
4(4 + 1) ^ 2*4 ^ 3*9 =
2107
= 20 ^ 08 ^ 27 =
2107
E.Ca-2
Suma de unidades = 10 y decenas
desiguales con; x – a = h, esto es u =
0.
ab * xy =
a(x + 1) ^ h*b ^ b*y
36 x 84 =
3(8 + 1) ^ 5*6 ^ 6*4 =
3024; h = 8 – 3.
Ecuación canónica
B => E.Cb
ab * xy = (ax + b) ^ (d*b + k*a) ^ b*y
Donde
d = a + x – 10, k = y – b con y ≥ b
43 x 89 = (4*8 + 3) ^ (2*3 + 6*4) ^ 27 = 3827; k
= 9 – 3
E.Cb-0
Suma de decenas = 10,
y unidades iguales con; b = y, a + x =
10.
ab * xb = (a*x + b) ^ b²
38 x 78 =
(3*7 + 8) ^64 =
2964
E.Cb-1
Suma de las decenas = 10 y las unidades
desiguales, con k = y – b, y ≥ b.
ab * xy =
(a*x + b) ^ (k*a) ^ b*y
37 x 79 =
(3*7 + 7) ^ (2*3) ^ 7*9 =
2923. k = 9 – 7
36 x 78 =
27 ^ 06 ^ 48 =
2808 k = 8 – 6
E.Cb-2
Suma de decenas d ≠ 10 y k = 0. ósea b + y = 10. para
cuadrados 61 a 79
ab * xy = (a*x + b) ^ d*b ^ b*y
87 x 67 = 8*6 + 7 ^ 4*7 ^ 49 = 5829 d = 8 + 6 – 10
38 x 68 = 3*6 + 8 ^ -1*8 ^ 64 = 2584 d = -1
7.1.1 Método “Wilho” para el producto 2 cifras por 2 cifras
a) Sea el producto ab * xy escribir el guarismo menor de primero ósea a
la izquierda ab < xy è ab * xy .
b)
Calcular a*y
+ b*x = T
c)
Comparar T – 10a = A
d)
Comparar T – 10b = B
e)
Usar el numero menor A o B
f)
ab *
xy = a(x + 1) ^ A ^ b*y Las decenas de A o B suman a la
izquierda
g)
ab *
xy = a*x + b ^ B ^ b*y Las
unidades de A o B suman a la derecha
En muchos casos A y B serán iguales a cero por lo tanto.
h)
ab *
xy = a(x + 1) ¦ b*y o = a*x + b ¦ b*y
Ejemplos;
1) a5 x a5 = a(a + 1) ¦ 5 x 5 Cuadrados
terminados en 5
35 x 35 = 3(3 + 1) ¦ 5 x 5 = 1225 A = 0
2) ab * ab =
a(a + 1) ¦ b x b Donde b + b = 10 y
decenas iguales.
43 x 47 = 4 x 5 ¦ 3 x 7 = 2021 A = 0 con 3 + 7 = 10
3) aa * bb = a(b + 1) ¦ a x b Capicúas por decena conjugado de unidad
33 x 64 =
3(6 + 1) ¦ 3 x 4 = 2112 A = 0
con 6 + 4 = 10
4)
ab * ab = a*a + b ¦ b x b Decenas
suman 10 y unidades iguales
36 x 76 = 3 x 7 + 6 ¦ 6 x 6 = 2736 B = 0 con 3 + 7 = 10
5)
ab * xy =
a(x + 1) ¦ b*y è a = n*b x = n*y
33 x 28 = 3(2 + 1) ¦ 3 x 8 = 924 n = 1
63 x 48 = 6(4 + 1) ¦ 3 x 8 = 3024 n = 2
93 x 68 = 9(6 + 1) ¦ 3 x 8 = 6324 n = 3
6)
ab * x(n*x) = a*x + b) ¦ b*y è b = n*a y = n*x
22 x 73 =
2*7 + 2 ¦ 2 x 3 = 1606 n = 1
24 x 76 =
2*7 + 4 ¦ 4 x 6 = 1824 n = 2
26 x 79 =
2*7 + 6 ¦ 6 x 9 = 2054 n = 3
7)
Todos los cercanos a 50
43 x 40 = 4 x 4 ¦ 3 x 40 = 16 ¦ 120 =
1720
43 x 41 = 42x42 – 1 = 1764 – 1
= 1763
43 x 4 2 = 42x42 + 42 = 1764 + 42 = 1806
43 x 43 = (43 – 25) ¦ 7 x 7 = 1849
43 x 44 = (43 – 25) ¦ 7 x 7 + 43 =
1849 + 43 = 1892
43 x 45 = 44x44 – 1 = 1936 – 1
= 1935
43 x 46 = 4 x 4 + 3 ¦ 06 ¦ 3 x 6 = 19 ¦ 06 ¦ 18 =
1978
43 x 47 = 4(4 + 1) ¦ 3 x 7 = 2021
43 x 48 = 4(4 + 1) ¦ 3 x 7 + 43 = 2021 = 43 =
2064
43 x 49 = 46 x 46 – 3 x 3 = 2116 – 9 =
2107
Y así mismo para todas las parejas entre 40 y 50
8)
Si
A < 0 y B
< 0 è
ab * xy = ax ^ bx + ay ^ by
33 x 33 = 9 ^ 18 ^ 9 = 1089 la
decena suma a la izquierda
7.1 Formula
general para producto de 2 por 3 cifras
ab * xyz = ax ^ (ay + bx) ^
(az + by) ^ bz
47 x 638 = 24 ^ 54 ^ 53 ^ 56 = 29986
ab * xyz = x*ab ^ ab*yz
47 x 638 = 6*47 ^ 47*38 = 282 ^ 1786 = 2(82 + 17)86 = 29986
47 x 38 = 47 x 37 + 47 = 42² – 5² + 47 = 1764 +
22 = 1786
7.2 Formula general para productos de 3 por 3
cifras.
abc * xyz = ax ^ (ay + bx) ^ (cx + by + az) ^ (bz +
cy) ^ cz
248 x 375 = 06 ^ 26 ^ 62 ^ 76 ^ 40 =
93000
= (6 + 3 + 1)(6 + 6 + 1)(2 +
7 + 1)(6 + 4) 0 = 93000
Ósea que la
respuesta hay que estructurarla de derecha a izquierda, la única que no cambia
es la unidad las demás varían de acuerdo a si la suma de dígitos da mayor que
10 o no.
Sea el primer
numero A y su numero de dígitos A(n) y el segundo B y B(n) sus dígitos entonces el numero de términos de un producto
será; A(n)*B(n), pero en la forma reducida el numero de parejas a estructurar
solo son [A(n) + B(n) – 1] lo que lleva el calculo de un producto a la
concatenación de parejas de números.
7.2.1 Otro método partiendo de que sabemos hacer
los productos de dos cifras
abc * xyz = 10a*x ^ (a*yz + x*ab) ^ ab*yz
878 x 963 = 720 ^ 504 + 702 ^ 63*78
63 x 78 = 62 x 78 + 78 = 70² – 8² + 78 = 4914
878 x 963 = 720 ^ 1206 ^ 4914
= 720 ^ 1255 ^ 14
= 845.514
789 x 978 = 630 ^ 546 + 801^ 89*78
89 x 78 = (78 – 11) ^ (11*22) = 67^242 = 6942
789 x 978 = 630 ^ 1347 ^ 6942
= 630 ^ 1416 ^ 42
= 771.642
723 x 641 = 420 ^ 287 + 138 ^ 23*41 => 23*41 = 4*230 + 23 = 943
= 420 ^ 425 ^ 943
= 420 ^ 434 ^ 43
= 463.443
248 x 375 = 60 ^ 150 + 144 ^ 48*75 => 48*75 = 4*12*3*25 = 3600
= 60 ^ 294 ^ 3600
= 60 ^ 330 ^ 00
= 93.000
347 x 864 = 240 ^ 192 + 376 ^ 47*64 => 46*64 + 64 = 55² – 9² +64 = 3025 –
17
= 240 ^ 568 ^ 3008 =>
47*64 = 31 ^ -12 ^ 28 = 30 ^ 08 = 3008
= 240 ^ 598 ^ 08 => Con D = 0 y k = -3;
a*x + b ^ k*a ^ b*y
= 299.808
7.2.2 Método reducido para el producto 3 por 3
Reduce de 5 a 3 los guarismos
a ordenar, de la E.G 3*3
abc * xyz = a*xy + bx ^ (cx + by + az) ^ z*bc + c*y
347 x => 3*86 + 4*8 = 290
864 => 3*4 + 4*6 + 7*8 = 92
=> 4*47 + 10*7*6 = 608
=> 290 ^ 92 ^ 608 = 299.808
248 x 375 = 60 ^ 150 + 144 ^ 48*75 => si el producto 2 x 2 es simple
= 60 ^ 294 ^ 3600 => 48*75 = 4*12*3*25 =
3600
= 60 ^ 330 ^ 00
= 93.000
En el caso
anterior las unidades son múltiplos de 2 y de 5 respectivamente por eso
elegimos el método 7.2.1
En ambos métodos
el grupo de la derecha aporta 2 cifras fijas al resultado (00) y el siguiente
una sola cifra (0), quedando el resto para el grupo de la izquierda (60 + 33)
8.0 Producto de números de cuatro cifras
Ecuación General de 4*4 cifras
pcab * qzxy = T ^ U * V
T =>
p*q ^ p*z + q*c ^
U =>
p*x + c*z + a*q ^ p*y + c*x + a*z + b*q ^ c*y + a*x + b*z
V =>
a*y + b*x ^ b*y
8.1 Utilizando el producto de 3x3
cifras
pabc * qxyz = 100p*q ^ p*xyz + q*abc ^ abc*xyz
1115 x 3125 = 300 ^ 125 + 345 ^ 115*125 => u = 0, h = 1
= 300 ^ 470 ^ 14.375 => 11*13^05^25 = 14375
= 300 ^ 484 ^ 375 /<= 1 dig, 3 dig
= 3.484.375
8.2 Usando
grupos de tres cifras
pcab * qzxy
T =>
p*qz + c*q ^
U =>
10q*ab + z*cab + x*pca + y*pc
V => y*ab + 10x*b
pcab
4321 => 4*67 + 3*6 =
286
* =>
10*6*21 + 7*321 + 8*432 + 9*43
6789 =>1260 + 2247 + 3456 + 387 = 7350
qzxy => 9*21 + 10*8*1 = 269
=> 2(86 + 7)(350 + 2)69 = 29.335.269 /<= 3 dig,2 dig
8.3 Producto de números de 4 cifras usando números pequeños
pcab * qzxy
T =>
p*qz + c*q ^
U =>
p*x + c*z + a*q ^ p*y + c*x + a*z + b*q ^ c*y + a*x + b*z
V =>
y*ab + 10x*b
pcab
4321 => 4*67 + 3*6 =
286
* =>
32+21+12 ^ 36+24+14+6 ^ 27+16+7
6789 => 65 ^ 80 ^ 50 = 7350
dígito a dígito
qzxy => 9*21 + 10*8*1 = 269
=> 2(86 + 7)(350 + 2)69 = 29.335.269 /<= 3 dig, 2 dig
El ultimo espacio
a la derecha maneja dos dígitos el siguiente maneja tres dígitos
y el tercero el resto (en el guarismo final), siempre se puede llevar algo a la
izquierda.
pcab
3476 => 3*52 + 4*5 = 156 + 20 = 176
* =>
27+08+35 ^ 24+36+14+30 ^ 32+63+12
5298 => 70 ^ 104 ^ 107 =70^(104+10)7 =
8147 Se arma dígito a dígito
qzxy => 8*76 + 10*9*6 = 1148
=> 1(76 + 8)(147 + 11)48 = 18.415.848 /<= 3 dig,2 dig
En resumen para
los cuadrados de 2 cifras
17 x 17 = 10*(17 + 7) + 49 = 289
27 x 27 = 20*(27 + 7) + 49 = 729
33 x 33 = 30*(36) + 09 = 1089
37 x 37 = (37 – 25) ^ (50 – 37)² = 1369
47 x 47 = (47 – 25), (50 – 47)² = 2209
57 x 57 = (57 – 25), (57 – 50)² = 3249
66 x 66 = 4225 + 65 + 66 = 4356
67 x 67 = 42 ^ 24 ^ 49 = 4489 E.Ca
67 x 67 = 43 ^ 14 ^ 49 = 4489 E.Cb
77 x 77 = 56 ^ 28 ^ 49 = 5929 E.Ca
87 x 87 = (87 – 13) ^ 13² = 7569 E.C
– 100
97 x 97 = (97 – 03) ^ (03)² = 9409
En resumen para
los productos de 2 cifras
13 x 18 = 10*(13 +
8) + 3*8 = 234
23 x 28 = 20*(28 +
3)) + 24 = 644
33 x 38 = 30*41 +
24 = 1254
33 x 38 = 12 ^ 03
^ 24 = 1254 a(x + 1), U*a, b*y h = 0
(35 – 2)(35 + 2) +
33 = 1225 -4 + 33 = 1254
Producto de dos
números de dos cifras cercanos a 50.
54 x 56 = [55 –
25] ^ [6*4] = 3024, 55 = (54 + 56)/2
57 x 58 = [57,5 –
25] ^ [7*8] = 3250 + 56 = 3306
46 x 58 = [52 –
25] ^ [-4*8] = 2668.
46 x 48 = [47 –
25] ^ [-4*-2] = 2208
Vamos a calcular
el producto de dos números de dos cifras, usando un valor intermedio escogido
convenientemente (esto es usando una piedra común a los dos números).
A este número lo
llamaremos Piedra o punto común (P).
ab * xy = P² + P*Σu + Πu Siendo u el complemento de cada número con el numero
común.
Ejemplo;
67 x 74 = 70*70 +
70*(-3 + 4) + -3*4 = 4900 + 70
-12 = 4958.
68 x 72 = 4900 –
04 =
4896.
72 x 72 = 4900 +
4*70 + 4 = 5184
63 x 82 = 4900 +
(12 – 7)*70 – 7*12 = 4900 + 350
– 84 = 5166.
Usando 2 piedras o
puntos fijos uno para cada número.
63 x 82 = 4800 +
(2*60 + 3*80) + 6 = 4800 + 360
+ 6 = 5166.
64 x 84 = 4800 +
4*(60 + 80) + 16 = 4800 + 560
+ 16 = 5376.
56 x 84 = 4800 +
4*(60 – 80) – 16 = 4800 – 80 – 16 =
4704
58 x 63 =
35.5^8*13 = 3550 + 104 = 3654. Con
el M.C.-50
8.5
otras propiedades del producto 2x2
Si a + x = 10 è
ab * xy = a*x + b ^ u*a ^ b*y
Si b + y = 10 è
ab * xy = a*(x + 1)^ d*b ^ b*y
Si y + x = 10 ^ a = b è
ab * xy = a(a + 1) ¦ by
Teorema: sea el producto ab * xy si
x = ny ^ además a = nb.
ab * xy = a*(x + 1) ¦ b*y
Ejemplo con n = 1
33 x 46 = 3(4 + 1) ¦ 18 =
1518
Ejemplo con n = 2
63 x 86 = 6(8 + 1) ¦ 18
= 5418
Ejemplo con n = 3
93 x 97 = 9(9 + 1) ¦ 21 = 9021
22 x 46; 42 x 86; 21 x 48 = 41 x 28; 31 x 68 = 91 x 25; 41 x 88;
Si ay + bx = 10a b*x=
a*y; Si x =n*y è a = n*b
ab * xy = a(a + 1) ¦ by
33 x 55 = 1815; 24 x 18 = 432; 33 x 37 = 1221; 31 x 39 = 1209;
34 x 36 = 1224; 31 x 97 = 3907; 31 x 68 = 2108; 32 x 38 = 1216;
Si ay + bx = 10a + α è
ab * xy = a(a + 1) ¦ (10α + by)
33 x 56 = 1848; 25 x 18 = 450; 33 x 38 = 1254; 32 x 39 = 1248;
34 x 46 = 1564; 32 x 97 = 3104; 41 x 68 = 2788; 32 x 58 = 1856;
Si ay + bx = 10b b*x = a*y; Si n*x
= y è b = n*a:
ab * xy = ax + b ¦ by
22 x 73 = 1606; 24 x 76 = 1824; 36 x 68 = 2448; 36 x 76 = 2736;
13 x 79 = 1027; 24 x 84 = 2016; 39 x 93 = 3627; 13 x 86 = 1118;
Si ay + bx = 10b + α è
ab * xy = ax + b ¦ (10α + by)
22 x 73 = 1606; 24 x 76 = 1824; 36 x 68 = 2448; 36 x 76 = 2736;
13 x 79 = 1027; 24 x 84 = 2016; 39 x 93 = 3627; 13 x 86 = 1118;
Realizado
por William hoyos hincapié
“Willcox27” Wilho.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
He ahí que el hombre creo a dios a su imagen y semejanza
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